题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）求f（x）的极值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-3，2]，有f（x₁）-f（x₂）≤m成立，求实数m的最小值．

解：（1）函数 $\text{[math]}$ ，则f′（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
令f′（x）=0解得x=-3，或x=1，且当x∈（-∞，-3）时，f′（x）＜0，故f（x）为减函数；
当x∈（-3，1）时，f′（x）＞0，故f（x）为增函数；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）为减函数．
故函数在x=-3处取到极小值f（-3）= $\text{[math]}$ ，在x=1处取到极大值f（1）= $\text{[math]}$
（2）由（1）可知函数f（x）在[-3，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数，
故函数在[-3，2]上有唯一的极大值即是最大值为f（1）= $\text{[math]}$ ，
又f（-3）= $\text{[math]}$ ，f（2）= $\text{[math]}$ ，故最小值为 $\text{[math]}$
f（x₁）-f（x₂）≤m成立，只需m≥[f（x₁）-f（x₂）]_max= $\text{[math]}$
故实数m的最小值为 $\text{[math]}$
分析：（1）求导数，令其等于0判两侧的单调性得可得极值；
（2）由（1）可判区间[-3，2]的单调性，进而可得极值，可求最值，把恒成立问题转化为最值问题，函数在所研究区间上的函数差值的最大值即为最大值与最小值的差．
点评：本题为函数极值与最值的求解，正确运用极值与最值的定义是解决问题的关键，属中档题．