Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=3，a₄=81，若数列{b_n}满足b_n=log₃a_n，则数列{

1

bnbn+1

}的前n项和S_n=

n

n+1

．

Answer 1

分析：先根据等比数列通项公式求出a_n，进而可求得b_n，利用裂项相消法可求得S_n．

解答：解：设公比为q，则a₄=a₁q³=3q³=81，
解得q=3，所以a_n=3×3^n-1=3ⁿ，
b_n=log₃a_n=log33n=n，所以

1

bnbn+1

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
S_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

，
故答案为：

n

n+1

．

点评：本题考查等比数列的通项公式、数列求和，考查裂项相消法求和，若数列{a_n}为等差数列，公差d≠0，则数列{

1

anan+1

}的前n项和可运用裂项相消法求和，其中

1

anan+1

=

1

d

（

1

an

-

1

an+1

）．