Question

已知函数f（x）是（-∞,+∞）上的增函数，a、b∈R,对命题“若a+b≥0，则f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）”.

（1）写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论;

（2）写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.

Answer 1

解：（1）逆命题是：若f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）,则a+b≥0.真命题.?

用反证法证明：假设a+b＜0,则a＜-b,b＜-a.?

∵f（x）是（-∞,+∞）上的增函数，则f（a）＜f（-b）,f（b）＜f（-a）,∴f（a）+f（b）＜f（-a）+?f（-b）.这与题设相矛盾.

∴逆命题为真.?

（2）逆否命题：若f（a）+f（b）＜f（-a）+f（-b）,则a+b＜0,真命题.

证明：∵一个命题它的逆否命题，∴可证明原命题为真命题.?

∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a.

又∵f（x）在（-∞,+∞）上为增函数，?

∴f（a）≥f（-b）,f（b）≥f（-a）.?

∴f（a）+f（b）≥f（-a）+f（-b）.?

∴逆否命题为真.