题目内容

若椭圆 $数学公式$ 与双曲线 $数学公式$ 有相同的焦点F₁、F₂，P是两曲线的一个交点，则△F₁PF₂的面积是

A.
4
B.
2
C.
1
D.
$数学公式$

C
分析：由题设中的条件，设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2 $\text{[math]}$ ，双曲线的实轴长为2 $\text{[math]}$ ，由它们有相同的焦点，得到m-n=2．不妨设m=5，n=3，根据双曲线和椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ，|PF₁|-|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ，△PF₁F₂中，由三边的关系得出其为直角三角形，由△PF₁F₂的面积公式即可运算得到结果．
解答：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c，椭圆的长轴长2 $\text{[math]}$ ，双曲线的实轴长为2 $\text{[math]}$ ，
由它们有相同的焦点，得到m-n=2．
不妨设m=5，n=3，
椭圆的长轴长2 $\text{[math]}$ ，双曲线的实轴长为2 $\text{[math]}$ ，
不妨令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF₁|-|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ①
由椭圆的定义|PF₁|+|PF₂|=2 $\text{[math]}$ ②
①²+②²得|PF₁|²+|PF₂|²=16
又|F₁F₂|=4，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
则△F₁PF₂的形状是直角三角形
△PF₁F₂的面积为 $\text{[math]}$ •PF₁•PF₂= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ ）=1
故选C．
点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，解决本题的关键是根据所得出的条件灵活变形，求出焦点三角形的边长来．