Question

设函数f（x）=

x2+1

-ax（a∈R）．
（1）当a＞0时，解关于x的不等式f（x）≤1；
（2）函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，解不等式

x2+1

≤1+ax（a＞0）?即 

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

，通过对a0＜a＜1与a≥1讨论解决即可；
（2）利用f′（x）=

x

1+x2

-a≥0或f′（x）=

x

1+x2

-a≤0，可求得a的关系式，通过构造函数u（x）=

x

1+x2

，可求得u（x）∈[0，1），从而可求实数a的取值范围．

解答：解：（1）不等式f（x）≤1，即

x2+1

≤1+ax，
由此得1≤1+ax，即ax≥0，其中常数a＞0．
所以，原不等式等价于

x2+1≤(1+ax)2 x≥0

，
即 

x≥0 (a2-1)x+2a≥0

，
所以，当0＜a＜1时，所给不等式的解集为{x|0≤x≤

2a

1-a2

}；
当a≥1时，所给不等式的解集为{x|x≥0}．----------7
（2）∵f′（x）=

x

1+x2

-a≥0或f′（x）=

x

1+x2

-a≤0，．
则a≤

x

1+x2

或a≥

x

1+x2

恒成立，
而u（x）=

x

1+x2

=

0，x=0 1 1+ 1 x2 ，x≠0

∈[0，1），
∴a≥1或a≤0------------14

点评：本题考查无理不等式的解法，考查含参数的函数的单调性的讨论分析，着重考查推理与运算能力，属于难题．