Question

设函数f（x）=ax²+bx+

3

4

在x=0处取得极值，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线2x+4y-9=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）设函数g（x）=

ex

f(x)

，若方程g（x）=m有三个不相等的实根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为”函数在x=0处取得极值“，则有f ′(0)=0，再由“曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直”，
则有f ′(1)=2，从而求解；
（Ⅱ）利用微积分基本定理来求曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积；
（Ⅲ）由（Ⅰ）可得到：g(x)=

ex

x2+ 3 4

，令g ′(x)=0，有x²-2x+

3

4

=0，
则由其两根来构建单调区间求出极值，只需使m大于极小值且小于极大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因f（x）=ax²+bx+

3

4

，故f′（x）=2ax+b
又f（x）在x=0处取得极限值，故f ′(0)=0，从而b=0
由曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线与直线2x+4y-9=0相互垂直可知该切线斜率为2，
即f ′(1)=2，有2a=2，从而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+

3

4

，
联立直线与曲线方程得到x=-

3

2

或x=1
故曲线y=f（x）和直线2x+4y-9=0所围成的封闭图形的面积为
S=

∫

1 - 3 2

(-

1

2

x+

9

4

)-(x2+

3

4

)dx=

∫

1 - 3 2

(-x2-

1

2

x+

3

2

)dx
=(-

1

3

x3-

1

4

x2+

3

2

x)

|

1 - 3 2

=

125

48

；
（Ⅲ）g ′(x)=

ex•(x2+ 3 4 )-2x•ex

(x2+ 3 4 )2

=

ex•(x2-2x+ 3 4 )

(x2+ 3 4 )2

令g ′(x)=0，得到x1=

1

2

，x2=

3

2

根据x₁，x₂列表，得到函数的极值和单调性

x	(-∞， 1 2 )	1 2	( 1 2 ， 3 2 )	3 2	( 3 2 ，+∞)
f  ′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	极大值	减	极小值	增

∴函数g（x）的极大值为 g(

1

2

)=e 

1

2

，函数g（x）的极小值为g(

3

2

)=

1

3

e 

3

2

 
∴

1

3

e 

3

2

＜m＜e 

1

2

点评：本题主要考查导数的几何意义，函数的极值及函数的单调性．综合性较强，充分考查了函数方程不等式三者的内在联系与转化．