Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=t（S_n﹣a_n+1）（t＞0），且4a₃是a₁与2a₂的等差中项．

（Ⅰ）求t的值及数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：

数列递推式；数列的求和；等差数列的性质．

专题：

综合题．

分析：

（Ⅰ）当n≥2时，S_n=t（S_n﹣a_n+1），再写一式，两式相减，可得{a_n}是首项a₁=t，公比等于t的等比数列，利用4a₃是a₁与2a₂的等差中项，即可求得结论；

（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n=（2n+1）×2ⁿ，利用错位相减法，可求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：

解：（Ⅰ）当n=1时，S₁=t（S₁﹣a₁+1），所以a₁=t，

当n≥2时，S_n=t（S_n﹣a_n+1）①

S_n﹣1=t（S_n﹣1﹣a_n﹣1+1），②

①﹣②，得a_n=t•a_n﹣1，即．

故{a_n}是首项a₁=t，公比等于t的等比数列，所以a_n=tⁿ，…（4分）

故，

由4a₃是a₁与2a₂的等差中项，可得8a₃=a₁+2a₂，即8t³=t+2t²，

因t＞0，整理得8t²﹣2t﹣1=0，解得t=或t=﹣（舍去），

所以t=，故a_n=．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n==（2n+1）×2ⁿ，

所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n﹣1）×2^n﹣1+（2n+1）×2ⁿ，③

2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n﹣1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，④

③﹣④，得﹣T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）﹣（2n+1）×2ⁿ⁺¹      …（8分）

=﹣2+2ⁿ⁺²﹣（2n+1）×2ⁿ⁺¹=﹣2﹣（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹…（11分）

所以T_n=2+（2n﹣1）×2ⁿ⁺¹．…（12分）

点评：

本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查错位相减法求数列的和，确定数列为等比数列是关键．