Question

已知函数f（x）=

1，(x＞0) 0   (x=0) -1  (x＜0)

下列叙述：
①f（x）是奇函数；
②y=xf（x）为奇函数；
③（x+1）f（x）＜3的解为-2＜x＜2；
④xf（x+1）＜0的解为-1＜x＜1．
其中正确的是

 

．（填序号）

Answer 1

分析：由题中的函数解析式和奇函数的定义分别去判断①和②；根据分段函数对x分三种情况，求解对应的不等式得解集，最后再并在一起，再与给出的答案对照．

解答：解：①由题意知f（0）=0且函数的定义域是R，当x＞0时，f（-x）=-1=-f（x），
当x＜0时，f（-x）=-1=-f（x），故①对；
②当x＞0时，f（-x）=（-1）（-x）=x=f（x），则不是奇函数，故②不对；
③当x=0时，f（0）=0＜3，成立；当x＞0时，不等式为x+1＜3解得0＜x＜2；
当x＜0时，不等式为-x-1＜3，解得-4＜x＜0；
综上，不等式得解集是（-4，2），故③不对；
④当x=-1时，f（-1+1）=0＜3，成立；当x＞-1时，不等式为x＜0解得-1＜x＜0；
当x＜-1时，不等式为-x＜0，解得无解；
综上，不等式得解集是[-1，0），故③不对；
故答案为①．

点评：本题的考点是分段函数判断奇偶性和求分段函数构成的不等式的解集，需要根据分段函数的不同范围对应不同的解析式进行对x分类进行求解．