题目内容

（2011•海淀区二模）已知函数f(x)=
sinx
x

（1）判断下列三个命题的真假：
①f（x）是偶函数；②f（x）＜1；③当x=
3
2
π时，f（x）取得极小值．
其中真命题有
①②
①②
；（写出所有真命题的序号）
（2）满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)的正整数n的最小值为
9
9
．
分析：（1）对于①，考察证明f（-x）与f（x）的关系得证；对于②针对函数f(x)=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，再利用单位圆中的三角函数线，通过面积关系证明sinx＜x．对于③，利用商的导数运算法则及基本初等函数的导数公式，求出函数的导数，然后根据导函数的符号确定函数的单调性即可得到结论．
（2）分别令n=1，2，3，4，5，…，9．求出f(
nπ
6
)，f(
nπ
6
+
π
6
)函数值，再比较大小即可得出答案．
解答： （1）证明：函数f(x)=
sinx
x
的定义域为x≠0，
当x≠0时，f(-x)=
sin(-x)
-x
=
-sinx
-x
=
sinx
x
=f（x），
∴f（x）是偶函数；①正确；
对于②，针对函数f(x)=
sinx
x
的性质，只须考虑当0＜x＜
π
2
时的函数值即可，
如图，在单位圆中，有sinx=MA，
连接AN，则S△OAN＜S扇形OAN，
设
AN
的长为l，则x=
l
r
=l，
∴
1
2
ON•MA＜
1
2
ON•x，即MA＜x，
又sinx=MA，
∴sinx＜x，∴f(x)=
sinx
x
＜1，②正确；
f′(x)=
(sinx)′x-sinx•x′
x2
=
xcosx-sinx
x2

令
xcosx-sinx
x2
=0得xcosx-sinx=0，
即tanx=x，但当x=
3
2
π时，不满足tanx=x，
故当x=
3
2
π时，f（x）取不到极小值，故③错．
故答案为：①②．
（2）当n=1时，
nπ
6
=
π
6
，
nπ
6
+
π
6
=
π
3
，不满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)；

当n=2时，
nπ
6
=
π
3
，
nπ
6
+
π
6
=
π
2
，不满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)；
…
当n=8时，
nπ
6
=
4π
3
，
nπ
6
+
π
6
=
3π
2
，不满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)；
当n=9时，
nπ
6
=
3π
2
，
nπ
6
+
π
6
=
5π
3
，满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)．
故满足f(
nπ
6
)＜f(
nπ
6
+
π
6
)的正整数n的最小值为 9．
故答案为：9．
点评：本小题主要考查利用导数研究函数的极值、函数单调性、函数奇偶性、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题．
练习册系列答案
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π
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