Question

（本小题满分12分）为了了解某年段1000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）;……;第五组[17，18].按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8.

（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年段学生中百米成绩在[16，17）内的人数；

（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少个学生的百米成绩；

（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1秒的概率.

Answer 1

解:（Ⅰ）百米成绩在[16,17)内的频率为0.321=0.32 ,又0.321000=320

∴估计该年段学生中百米成绩在[16,17)内的人数为320人.   2分

（Ⅱ）设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x ，19x 依题意，得

     3x+8x+19x+0.321+0.081=1 ，∴x=0.02

设调查中随机抽取了n 个学生的百米成绩，则    ∴n=50

∴调查中随机抽取了50个学生的百米成绩.      6分

（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生数有30.02150=3，记他们的成绩为a，b，c

百米成绩在第五组的学生数有0.08150= 4，记他们的成绩为m，n，p，q

      则从第一、五组中随机取出两个成绩包含的基本事件有

{a,b},{a,c},{a,m},{a,n},{a,p},{a,q},{b,c},{b,m},{b,n},{b,p},{b,q},{c,m},{c,n},{c,p},{c,q},

{m,n},{m,p},{m,q},{n,p},{n,q},{p,q}，共21个

其中满足成绩的差的绝对值大于1秒所包含的基本事件有{a,m},{a,n},{a,p},{a,q}，{b,m},{b,n},{b,p},{b,q}，{c,m},{c,n},{c,p},{c,q}，共12个，  所以P=.