Question

已知函数f(x)=2sin(x+

π

6

)-2sin(

π

2

+x)，x∈[

π

2

， π]．
（1）若sinx=

4

5

，求函数f（x）的值；（2）求函数f（x）的值域；（3）求满足f(x)=

3

的自变量x的值．

Answer 1

分析：（1）由sinx的值及x的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cosx的值，把函数解析式的第一项利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，第二项利用诱导公式化简，去括号合并后将sinx及cosx的值代入即可求出值；
（2）由两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值将函数解析式化为一个角的正弦函数，根据x的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到正弦函数的值域，进而得到函数f（x）的值域；
（3）令f（x）=

3

，利用特殊角的三角函数值求出x的值，再由x的范围，即可得到满足题意的自变量x的值．

解答：解：（1）∵sinx=

4

5

，x∈[

π

2

， π]，
∴cosx=-

3

5

，（2分）
则f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx（6分）
=

3

sinx-cosx=

4

5

3

+

3

5

；（8分）
（2）f(x)=2(

3

2

sinx+

1

2

cosx)-2cosx
=

3

sinx-cosx
=2sin(x-

π

6

)，（10分）
∵

π

2

≤x≤π，
∴

π

3

≤x-

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(x-

π

6

)≤1，
∴函数f（x）的值域为[1，2]；（12分）
（3）由f(x)=

3

得：
sin(x-

π

6

)=

3

2

，x=kπ+(-1)k

π

3

+

π

6

，k∈Z，（14分）
∵x∈[

π

2

， π]，
∴x=

π

2

或x=

5π

6

．（15分）

点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域及值域，灵活利用三角函数的恒等变形把函数解析式进行变形是本题的突破点．