Question

已知函数f（x）是定义在R上的增函数，设F（x）=f（x）-f（a-x）．
（1）用函数单调性的定义证明：F（x）是R上的增函数；
（2）证明：函数y=F（x）的图象关于点（

a

2

，0）成中心对称图形．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义证明函数的单调性的步骤，第一步，设所给区间上任意两个自变量x₁，x₂，且x₁＜x₂，第二步，作差比较F（x₁）与F（x₂）的大小，第三步，得出结论，本题严格按照步骤去做，比较F（x₁）与F（x₂）时，要借助函数f（x）的单调性．
（2）要证明函数y=F（x）的图象关于点（

a

2

，0）成中心对称图形，只需证明函数y=F（x）的图象上任意一点关于点
（

a

2

，0）的对称点在函数y=F（x）的图象上即可，先利用中点坐标公式求出函数y=F（x）的图象上任意一点关于点
（

a

2

，0）的对称点坐标，再代入函数y=F（x）的解析式，看是否成立即可．

解答：解：（1）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则F（x₁）-F（x₂）
=f（x₁）-f（a-x₁）-[f（x₂）-f（a-x₂）]．
=[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]．
∵x₁＜x₂，∴-x₁＞-x₂，∴a-x₁＞a-x₂，
∵函数f（x）是定义在R上的增函数，∴f（x₁）＜f（x₂），f（a-x₂）＜f（a-x₁）．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（a-x₂）-f（a-x₁）＜0．
∴[f（x₁）-f（x₂）]+[f（a-x₂）-f（a-x₁）]＜0．
即F（x₁）＜F（x₂），
∴F（x）是R上的增函数．
（2）设M（x₀，y₀）为函数y=F（x）的图象上任一点，设点M（x₀，y₀）关于点（

a

2

，0）的对称点为N（m，n），
则

a

2

=

x0+m

2

，0=

y0+n

2

，，∴m=a-x₀，n=-y₀，
∵把m=a-x₀代入F（x）=f（x）-f（a-x）．
得，f（a-x₀）-f（a-a+x₀）=f（a-x₀）-f（x₀）=-y₀=n
即点N（m，n）在函数F（x）的图象上．
∴函数y=F（x）的图象关于点（

a

2

，0）成中心对称图形．

点评：本题主要考查定义法证明函数的单调性，以及抽象函数对称性的判断，做题时严格按照定义去做．