Question

函数f（x）满足f(-1)=

1

4

，对任意x，y∈R有4f(

x+y

2

)f(

x-y

2

)=f(x)+f(y)，则f（-2012）

-

1

4

．

Answer 1

分析：可采用赋值法求得f（0）=

1

2

，再通过赋值法求得f（-2）=f（-4）=f（-6）=-

1

4

，从而归纳出结论．

解答：解：∵f（-1）=

1

4

，令x=y=-1，有4f（-1）f（0）=2f（-1）=

1

2

，
∴f（0）=

1

2

，
令y=-x，有4f（0）f（x）=f（x）+f（-x），即2f（x）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=f（x），即f（x）为偶函数；
令x=-2，y=0，有4[f（-1）]²=f（-2）+f（0），解得f（-2）=-

1

4

①；
令x=-4，y=0，有4[f（-2）]²=f（-4）+f（0），解得f（-4）=-

1

4

②；
再令x=4，y=2，有4f（3）f（1）=f（4）+f（2），解得f（3）=

1

4

；
令x=-6，y=0，有4[f（-3）]²=f（-6）+f（0），解得f（-6）=-

1

4

③；
…
∴f（-2n）=-

1

4

．
∴f（-2012）=-

1

4

．

点评：本题考查抽象函数及其用，关键在于通过赋值法寻找规律，难点在于多次赋值才能发现规律，属于难题．