Question

如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点．
（1）证明PA∥平面BDE；
（2）求二面角B﹣DE﹣C的平面角的余弦值；
（3）在棱PB上是否存在点F，使PB⊥平面DEF？证明你的结论．

Answer 1

解：（1）以D为坐标原点，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设PD=CD=2，则A（2，0，0），P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
所以=（2，0，﹣2），=（0，1，1），=（2，2，0）．
设=（x，y，z）是平面BDE的一个法向量，
则由，得；
取=﹣1，则=（1，﹣1，1），
∴=2﹣2=0，
∴⊥，
又PA平面BDE，
∴PA∥平面BDE．
（2）由（1）知=（1，﹣1，1）是平面BDE的一个法向量，
又==（2，0，0）是平面DEC的一个法向量．
设二面角B﹣DE﹣C的平面角为θ，
由图可知θ=＜，＞，
∴cosθ=cos＜，＞===，
故二面角B﹣DE﹣C余弦值为．
（3）∵=（2，2，﹣2），=（0，1，1），
∴·=0+2﹣2=0，
∴PB⊥DE．
假设棱PB上存在点F，使PB⊥平面DEF，
设=λ（0＜λ＜1），
则=（2λ，2λ，﹣2λ），=+=（2λ，2λ，2﹣2λ），
由=0得4λ²+4λ²﹣2λ（2﹣2λ）=0，
∴λ=∈（0，1），
此时PF=PB，即在棱PB上存在点F，PF=PB，使得PB⊥平面DEF．