Question

如图所示的多面体ABCDE中，已知AB∥DE，AB⊥AD，△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，F是CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线CE与平面ABED所成角的余弦值；
（3）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

（1）证明：取CE中点P，连接FP、BP，
∵F为CD的中点，
∴FP∥DE，且FP=

1

2

DE．
又AB∥DE，且AB=

1

2

DE．
∴AB∥FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF∥BP．
又∵AF?平面BCE，BP?平面BCE，
∴AF∥平面BCE；
（2）∵△ACD是正三角形，AD=DE=2AB=2，BC=

5

，
∴BC²=AB²+AC²
∴AB⊥AC
∵AB⊥AD，AC∩AD=A
∴AB⊥平面ACD
∵AB?平面ABED
∴平面ABED⊥平面ACD
过C作CO⊥AD，则O是AD的中点，且CO⊥平面ABDE
连接OE，则∠CEO是直线CE与平面ABED所成角
∵OE=

5

，CE=2

2

∴cos∠CEO=

5

2 2

=

10

4

（3）多面体ABCDE的体积为

1

3

SABED?CO=

1

3

×

1

2

×(1+2)×2×

3

=

3

．