Question

已知：函数f(x)=x-

1

x

，
（1）求：函数f（x）的定义域；判断函数f（x）的奇偶性并说明理由；
（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．

Answer 1

分析：（1）确定函数定义域且关于原点对称，利用奇函数的定义可判断；
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，证明按照取值、作差、变形定号、下结论步骤即可．

解答：解：（1）定义域：（-∞，0）∪（0，+∞），定义域关于原点对称，
∵f（-x）=-x-

1

-x

=-x+

1

x

=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数
（2）判断：函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=x1-

1

x1

-（x2-

1

x2

）=（x₁-x₂）（1+

1

x1x2

）
∵x₁＜x₂，x₁，x₂∈（0，+∞）
∴x₁-x₂＜0，1+

1

x1x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性，考查函数的单调性的判定与证明，解题的关键是按照取值、作差、变形定号、下结论步骤证明．