Question

已知数列{a_n}中，a1=

1

3

，an+1=

1

3

an，b_n=log₃a_n+5．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求T_n=b₁+b₂+…+b_n的最大值及此时n的值；
（Ⅲ）若C_n=a_nb_n，是否存在整数k，使得Cn＞

k

35

对?n∈N^*恒成立？若存在，求出k的最大值；不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用（I）和对数的运算法则可得b_n，再令b_n≥0解得n，即可得出；
（III）计算C_n+1-C_n即可得出数列C_n的单调性，则“存在整数k，使得Cn＞

k

35

对?n∈N^*恒成立”?(Cn)min＞

k

35

，解出即可．

解答：解：（Ⅰ）由an+1=

1

3

an，
∴数列{a_n}是首项为

1

3

公比为

1

3

的等比数列，
∴an=(

1

3

)n．
（II）由b_n=log₃a_n+5=log33-n+5=-n+5．
∴b_n=-n+5．
当n＞5时，b_n＜0；当n≤5时，b_n≥0，
∴当n=4或n=5时，T_n取最大值，
此时T4=T5=

(4+0)×5

2

=10．
（III）Cn=(

1

3

)n×(5-n)，
由Cn+1-Cn=(

1

3

)n+1×(4-n)-(

1

3

)n×(5-n)
=(

1

3

)n+1×(4-n-15+3n)
=(

1

3

)n+1×(2n-11)，
得当n≤5时，C_n+1＜C_n；当n＞5时，C_n+1＞C_n，
即C₆，是数列{C_n}的最小项，C6=-(

1

3

)6．
又Cn＞

k

35

对?n∈N^*恒成立，即(Cn)min＞

k

35

，
∴-(

1

3

)6＞

k

35

，解得k＜-

1

3

．
∴存在整数k，使得Cn＞

k

35

对?n∈N^*恒成立，此时k的最大值为-1．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、对数的运算法则、数列的单调性、数列前n项和的性质、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，属于难题．