Question

已知圆O：x²+y²=2，直线l：y=kx-2．
（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，当∠AOB=

π

2

时，求k的值．
（2）若k=

1

2

，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC、PD，切点为C、D，探究：直线CD是否过定点；
（3）若EF、GH为圆O：x²+y²=2的两条相互垂直的弦，垂足为M（1，

2

2

），求四边形EGFH的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用点到直线的距离公式，结合点O到l的距离d=

2

2

r，可求k的值；
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，C、D在圆O：x²+y²=2上可得直线C，D的方程，即可求得直线CD是否过定点；
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．则d12+d22=|OM|2=

3

2

，表示出四边形EGFH的面积，利用基本不等式，可求四边形EGFH的面积最大值．

解答：解：（1）∵∠AOB=

π

2

，∴点O到l的距离d=

2

2

r…（2分）
∴

2

k2+1

=

2

2

•

2

，
∴k=±

3

…（4分）
（2）由题意可知：O、P、C、D四点共圆且在以OP为直径的圆上，
设P(t，

1

2

t-2)，其方程为：x(x-t)+y(y-

1

2

t+2)=0，
即x2-tx+y2-(

1

2

t-2)y=0，
又C、D在圆O：x²+y²=2上
∴lCD：tx+(

1

2

t-2)y-2=0，
即(x+

y

2

)t-2y-2=0…（7分）
由

x+ y 2 =0 2y+2=0

，得

x= 1 2 y=-1

，
∴直线CD过定点(

1

2

，-1)…（9分）
（3）设圆心O到直线EF、GH的距离分别为d₁，d₂．
则d12+d22=|OM|2=

3

2

…（11分）
∴|EF|=2

r2- d 2 1

=2

12- d 2 1

，|GH|=2

r2- d 2 2

=2

2- d 2 2

∴S=

1

2

|EF||GH|=2

(2- d 2 1 )(2- d 2 2 )

≤2-

d

2 1

+2-

d

2 2

=4-

3

2

=

5

2

当且仅当2-

d

2 1

=2-

d

2 2

即 d1=d2=

3

2

时，取“=”
∴四边形EGFH的面积的最大值为

5

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查直线恒过定点，考查四边形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．