Question

（本题满分15分） 设点为圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为．动点满足（其中，不重合）．

（Ⅰ）求点的轨迹的方程；

（Ⅱ）过直线上的动点作圆的两条切线，设切点分别为．若直线与（Ⅰ）中的曲线交于两点，求的取值范围．

 

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）

【解析】解：（Ⅰ）设点M(x,y),由，由于点P在上，则，

即M的轨迹方程为.                     ……4′

（Ⅱ）设点T(-2,t)，，则AT，BT的方程为：，，

又点T(-2,t) 在AT、BT上，则有：

①，②，由①、②知AB的方程为：.  ……3′

设点，则圆心O到AB的距离，

；又由，得，于是

，，于是

于是，     ……3′

设，则，于是，设，于是，设，，令，得m=1/4.

得f(m)在(0,1/4】上单调递增，故.

即的范围为                                    ……5′

思路分析：第一问中利用向量的关系式消元法得到轨迹方程。设点M(x,y),由，由于点P在上，则，

第二问，设点T(-2,t)，，则AT，BT的方程为：，，

又点T(-2,t) 在AT、BT上，则有：

①，②，由①、②知AB的方程为：.  ……3′

设点，则圆心O到AB的距离

；又由，得，于是

，，于是

 

构造函数求解得到。