Question

某货船在索马里海域航行中遭遇海盗袭击，发出呼救信号，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该船在方位角45°，距离10海里的C处，并测得该船正沿方位角105°的方向，以每小时10海里的速度向前行驶，我海军护航舰立即以每小时10

3

海里的速度前去营救，求护航舰的舰向和靠近货船所需的时间．

Answer 1

分析：设所需时间为th，可得AB=10

3

t且CB=10t，△ABC中由余弦定理建立关于t的方程，解出t=1，从而得到AB=10

3

、BC=10．然后由正弦定理解出∠CAB=30°，即可得到护航舰航行的方位角．

解答：解：如图所示，设所需时间为t小时，AB=10

3

t，CB=10t
在△ABC中，由余弦定理AB²=BC²+AC²-2BC•ACcos∠BAC，
得300t²=100t²+100-2•10t•10cos120°
解之得t=1或t=-

1

2

，
所以护航舰需要1小时靠近货船．--------------（6分）．
此时AB=10

3

，BC=10，
在△ABC中，由正弦定理得

BC

sin∠CAB

=

AB

sin120°

，
即

10

sin∠CAB

=

10 3

3 2

，解得sin∠CAB=

1

2

∵∠CAB∈(0，

π

2

)，∴∠CAB=30°，
由此可得：护航舰航行的方位角为45°+30°=75°．
∴护航舰的舰向为北偏东75°，靠近货船所需的时间为1小时---------（12分）

点评：本题给出实际应用问题，求护航舰的航向和所需时间，着重考查了利用正余弦定理解三角形及其应用等知识，属于中档题．