Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD是边长为2cm的等边三角形，且与底面垂直，而底面ABCD是面积为2

3

cm2的菱形，∠ADC是锐角．
（I）求四棱锥P-ABCD的体积；
（II）求证PA⊥CD．

Answer 1

分析：（I）做出PE⊥CD，根据已知中侧面PCD与底面垂直，结合面面垂直的性质定理，我们易得PE即为棱锥的高，结合侧面PCD是边长为2cm的等边三角形，底面ABCD是面积为2

3

cm2的菱形，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
（II）要证明PA⊥CD，我们可以根据已知，先证明平面PAE⊥CD，然后根据线面垂直的定义，得到结论．

解答：解：（I）过P作PE⊥CD，垂足为E，
∵侧面PCD与底面垂直
∴PE⊥平面ABCD
又∵侧面PCD是边长为2cm的等边三角形，
∴PE=

3

cm，
∴四棱锥P-ABCD的体积
V=

1

3

×

3

×2

3

=2cm³
（II）∵底面ABCD是面积为2

3

cm2的菱形，
∴S=CD²•sin∠ADC
又∵CD=2cm
∴sin∠ADC=

3

2

∴∠ADC=60°
连接AC，则△ADC为等边三角形
连接AE后，由E为CD的中点，
则AE⊥CD，结合（1）的结论，且AE∩PE=E
∴CD⊥平面PAE
又∵PA?平面PAE
∴PA⊥CD

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，（I）中求出棱锥的高是解答的关键，（II）中将问题转化为线面垂直的证明是处理此类问题的技巧．