Question

有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且通过这两条公路所用的时间互不影响．
据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如表：

所用的时间（天数）	10	11	12	13
通过公路1的频数	20	40	20	20
通过公路2的频数	10	40	40	10

（I）为进行某项研究，从所用时间为12天的60辆汽车中随机抽取6辆．
（i）若用分层抽样的方法抽取，求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆；
（ii）若从（i）的条件下抽取的6辆汽车中，再任意抽取两辆汽车，求这两辆汽车至少有一辆通过公路1的概率．
（II）假设汽车4只能在约定日期（某月某日）的前11天出发，汽车1只能在约定日期的前12天出发．为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物运往城市乙，估计汽车4和汽车1应如何选择各自的路径．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）（i）根据题意，所用时间为12天共有60辆汽车，其中公路1有20辆，公路2有40辆，由分层抽样方法计算可得答案，
（ii） 通过公路1的两辆汽车分别用a、b表示，通过公路2的4辆汽车分别用c、d、e、f表示，列举从中任意抽取2辆汽车的情况，可得其情况的数目以及至少有1辆经过公路1的情况数目，由古典概型计算公式，计算可得答案；
（Ⅱ）根据题意，设事件C₁、C₂分别表示汽车A在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；事件D₁、D₂分别分别表示汽车B在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙，由频率、频数的关系计算可得频率分布表，即可得P（C₁）与P（C₂），P（D₁）与P（D₂）的大小，比较可得答案．
解答：解：（Ⅰ） （i）根据题意，所用时间为12天共有60辆汽车，其中公路1有20辆，公路2有40辆，
公路1抽取6×=2辆汽车，
公路2抽取6-2=4辆汽车．
（ii） 通过公路1的两辆汽车分别用a、b表示，通过公路2的4辆汽车分别用c、d、e、f表示，
任意抽取2辆汽车共有15种可能的结果：依次为（a，b）、（a，c）、（a、d）、（a、e）、（a，f）、
（b，c）、（b、d）、（b、e）、（b，f）、（c、d）、
（c、e）、（c，f）、（d，e）、（d，f）、（e，f），
其中至少有1辆经过公路1的有9种，
所以至少有1辆经过1号公路的概率为=；
（Ⅱ）频率分布表，如下：

所用时间	10	11	12	13
公路1的频率	0.2	0.4	0.2	0.2
公路2的频率	0.1	0.4	0.4	0.1

设事件C₁、C₂分别表示汽车4在前11天出发选择公路1、2将货物运往城市乙；事件D₁、D₂分别分别表示汽车1在前12天出发选择公路1、2将货物运往城市乙．
P（C₁）=0.2+0.4=0.6，P（C₂）=0.1+0.4=0.5，
P（C₁）＞P（C₂），
∴汽车4应选择公路1；
P（D₁）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（D₂）=0.1+0.4+0.4=0.9，
P（D₁）＜P（D₂），
∴汽车1应选择公路2．
点评：本题考查古典概率的计算，涉及频率分布表的计算与应用与分层抽样方法；关键正确分析频率分布表，得到有关的数据．