Question

已知函数，
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与函数g（x）=1的图象在区间上有公共点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设各项为正的数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=lna_n+a_n+2，n∈N*，求证：a_n≤2ⁿ-1。

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，
令f′（x）=0得x=e^1-a，
当是增函数；
当是减函数；
∴f（x）在x= 处取得极大值，，无极小值。
（Ⅱ）①当时，即a＞-1时，
由（Ⅰ）知上是增函数，在上是减函数，
∴，
又当时，f（x）=0，
 
时，，
∴f（x）与函数g（x）=1的图象在上有公共点解得a≥1，
又a＞-1，所以a≥1。
②当时，上是增函数，
∴f（x）在上的最大值为，
所以原问题等价于
又，∴无解；
综上，实数a的取值范围是。
（Ⅲ）令a=1，由（Ⅰ）知，，
∴，
，假设，
则，
故，
从而，
∴，
即，
∴。