题目内容
已知Sn为数列{an}的前n项和，
=（Sn，1），
=(-1，2an+2n+1)，
⊥
．
（Ⅰ）求证：{
}为等差数列；
（Ⅱ） 若bn=
an，问是否存在n0，对于任意k（k∈N*），不等式bk≤bn0成立．
| a |
| b |
| a |
| b |
（Ⅰ）求证：{
| an |
| 2n |
（Ⅱ） 若bn=
| n-2013 |
| n+1 |
分析：（Ⅰ）根据
⊥
，利用向量的数量积公式，可得-Sn+2an+2n+1=0，再写一式，两式相减，整理可得{
}是以-2为首项，-1为公差的等差数列；
（Ⅱ）确定数列的通项，令bn+1≥bn，即可知bn的最大值，由此可得结论．
| a |
| b |
| an |
| 2n |
（Ⅱ）确定数列的通项，令bn+1≥bn，即可知bn的最大值，由此可得结论．
解答：（Ⅰ）证明：∵
⊥
，
=（Sn，1），
=(-1，2an+2n+1)，
∴-Sn+2an+2n+1=0，
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减，整理可得an+1=2an-2n+1，∴
=
-1，
又n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a1=-4，∴
=-2
∴{
}是以-2为首项，-1为公差的等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
=-2-(n-1)=-(n+1)，
∴bn=(2013-n)2n，
令bn+1≥bn，
∴（2012-n）2n+1≥（2013-n）2n，
∴n≤2011
∴bn的最大值为b2011=b2012=22012，
∴存在n0=2011或2012，对于任意k（k∈N*），不等式bk≤bn0成立．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴-Sn+2an+2n+1=0，
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减，整理可得an+1=2an-2n+1，∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
又n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a1=-4，∴
| a1 |
| 2 |
∴{
| an |
| 2n |
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知
| an |
| 2n |
∴bn=(2013-n)2n，
令bn+1≥bn，
∴（2012-n）2n+1≥（2013-n）2n，
∴n≤2011
∴bn的最大值为b2011=b2012=22012，
∴存在n0=2011或2012，对于任意k（k∈N*），不等式bk≤bn0成立．
点评：本题考查向量知识的运用，考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的恩了，属于中档题．
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