Question

如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,DA⊥面ABP,AB=1,PA=2,∠PAB=60°.
(1)求证:平面PBC⊥面PDC
(2)设E为PC上一点,若二面角B-EA-P的余弦值为-,求三棱锥E-PAB的体积.

Answer 1

(1)见解析
(2)

(1)∵AB=1,PA=2,∠PAB=60°,∴在△PAB中,由余弦定理得
PB²=PA²+AB²-2AB·PAcos60⁰=4+1-2×1×2×=3
∴PA²=PB²+AB²,即AB⊥PB
∵DA⊥面ABP,CB∥DA
∴CB⊥面ABPCB⊥AB ,∴AB⊥面PBC
又DC∥AB,∴DC∥面PBC
∵DC面PDC,∴平面PBC⊥面PDC
(2)如图建立空间直角坐标系

则A(0,1,0),P(,0,0),C(0,0,1)
设E(x,y,z),= (0<<1)
则(-,0,1)=(x-,y,z)x=(1-),y=0,z=
设面ABE的法向量为n=(a,b,c),则
令c=n=(,0,)
同理可求平面PAE的法向量为m=(1,,)
∵cos<n,m>====
∴=或=1(舍去)
∴E(,0,)为PC的中点,其竖坐标即为点E到底面PAB的距离
∴V_E-PAB=××1××=