Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，a，b∈R
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值．
（2）已知f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，求证：0＜a+b＜2．

Answer 1

（1）由f(x)=

1

3

x3+ax2+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b
因为y=f（x）经过点P（1，2），所以有

1

3

×13+a×12+b=2，即3a+3b-5=0 ②
又曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，所以f^′（1）=2a+b+1=2，即2a+b-1=0   ①
联立①②得：a=-

2

3

，b=

7

3

；
（2）因为函数f（x）在区间（1，2）内存在两个极值点，所以导函数对应的二次方程x²+2ax+b=0在（1，2）
上有两个不等实数根，则

△=(2a)2-4b＞0 -2＜a＜-1 1+2a+b＞0 4+4a+b＞0

把

-2＜a＜-1 1+2a+b＞0

相加得a+b＞0，
由△＞0得b＜a²，
则a+b＜a+a2=(a+

1

2

)2-

1

4

＜2，则结论得证．