Question

（2010•肇庆二模）已知函数f(x)=

1

4

x4+

1

3

ax3+2x2+b．
（1）若函数f（x）仅有一个极值点x=0，求实数a的取值范围；
（2）若对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）可以求出函数的导数，利用导数研究知x²+ax+4≥0恒成立，求出a的取值范围即可．
（2）对任意的a∈[-1，1]，不等式f（x）≤0当x∈[-1，1]时恒成立，利用函数的单调性．通过

f(1)≤0 f(-1)≤0

求出b的范围．

解答：解：（1）f′（x）=x³+ax²+4x=x（x²+ax+4），（2分）
依题意知x²+ax+4≥0恒成立．    （3分）
故实数a的取值范围是[-4，4]．   （5分）
（2）因为当a∈[-1，1]时，△=a²-16＜0，
所以x²+ax+4＞0．（6分）
于是当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0；（7分）
所以f（x）在[-1，0]为减函数，在[0，1]上为增函数．   （8分）
要使f（x）≤0在x∈[-1，1]上恒成立，
只需满足

f(1)= 1 4 + a 3 +2+b≤0 f(-1)= 1 4 - a 3 +2+b≤0

（10分）
即

b≤- a 3 - 9 4 b≤ a 3 - 9 4

（12分）
故实数b的取值范围是(-∞，-

31

12

]．（14分）

点评：本题考查函数的导数及其应用，求函数的极值，判断函数取得极值的条件以及应用，利用导数研究含一个参数a的函数的单调区间问题，考查了分类讨论思想．