Question

已知函数f(x)=lg

x+1

x-1

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）讨论f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，由

2

x-1

≠0，对数函数的性质即可求得函数f（x）的值域；
（Ⅱ）先求得函数定义域，看是否关于原点对称，再研究f（-x）与f（x）的关系，根据函数奇偶性的定义即可得到结论．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=lg

x+1

x-1

=lg

x-1+2

x-1

=lg(1+

2

x-1

)，
∵

2

x-1

≠0，∴f（x）≠lg1，即f（x）≠0．
∴函数f（x）的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
（Ⅱ）由

x+1

x-1

＞0得x＜-1，或x＞1．
∴函数f（x）的定义域为{x|x＜-1，或x＞1}，它关于原点对称．
∵f(-x)=lg

-x+1

-x-1

=lg

x-1

x+1

，
又∵f(x)+f(-x)=lg

x+1

x-1

+lg

x-1

x+1

=lg(

x+1

x-1

•

x-1

x+1

)=lg1=0，
∴f（-x）=-f（x）．
故函数f（x）是奇函数．

点评：本题考查函数奇偶性的判断及函数值域的求解，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法．