题目内容
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E、F分别是AB、PB的中点．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
（Ⅰ）求证：EF⊥CD；
（Ⅱ）若G是线段AD的中点，则当PB与面ABCD所成角的正切值为何值时，GF⊥平面PCB，并证明你的结论．
解：以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（如图）．
设AD=a，则D（0，0，0）A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，
，0），P（0，0，z），F（
，
，
）．
（Ⅰ）证明：∵
=（﹣
，0，
）（0，a，0）=0，
∴
，∴EF⊥CD．
（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK
AD，FK=AD，∴QF
DK
∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，
∵K是PC的中点，所以PD=DC，
底面ABCD为正方形，所以DB=
PB与面ABCD所成角的正切值为：
．
设AD=a，则D（0，0，0）A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E（a，
，0），P（0，0，z），F（，，）．（Ⅰ）证明：∵
=（﹣，0，）（0，a，0）=0，∴
，∴EF⊥CD．（Ⅱ）当Q是AD中点时，有QF⊥面PBC．
取PC中点K，连DK，FK，则DK⊥面PBC．
又FK
AD，FK=AD，∴QFDK∴QF⊥面PBC．
∴DK⊥PC，
∵K是PC的中点，所以PD=DC，
底面ABCD为正方形，所以DB=
PB与面ABCD所成角的正切值为：．
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