Question

【题目】已知双曲线C： =1（b＞a＞0）的右焦点为F，O为坐标原点，若存在直线l过点F交双曲线C的右支于A，B两点，使 =0，则双曲线离心率的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】e＞
【解析】解：设焦点为F（c，0），直线AB：y=k（x﹣c），
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
则联立直线方程和双曲线的方程，可得
（b2﹣a2k2）x2+2ca2k2x﹣a2k2c2﹣a2b2=0，
则△=4c2a4k4+4（b2﹣a2k2）（a2k2c2+a2b2）＞0，
x1+x2= ，x1x2= ，
则y1y2=k2（x1x2+c2﹣c（x1+x2））=k2 ，
由于OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，
即有a2b2+a2k2c2+k2（a2b2﹣b2c2）=0，
即有k2= ，
代入判别式可得， （a2b2c2﹣a4b2）+a2b4＞0，
化简可得，a2c2﹣a4+b2c2﹣a4＞0，
即有c4＞2a4 ， 即有e＞ ．
∵b＞a，∴e＞ ，
综上所述e＞ ．
所以答案是e＞ ．
【考点精析】本题主要考查了双曲线的概念的相关知识点，需要掌握平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距才能正确解答此题．