Question

已知椭圆内有一点P（2，1），过点P作直线交椭圆于A、B两点．
（1）若弦AB恰好被点P平分，求直线AB的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，求△AOB的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用“点差法”求得直线的斜率即可得到直线的方程；
（2）当原点O到直线AB的距离取最大值时，满足OP⊥AB，求出此时直线AB的方程，再利用点到直线的距离公式及弦长公式即可．
解答：解：（1）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的斜率为k，
由A、B在椭圆上，得
又∵P（2，1）是AB的中点，∴．
由①-②得 ，
∴k==-．
∴直线AB的方程为y-1=-（x-2），即  8x+9y-25=0；
（2）．当原点O到直线AB的距离取最大值时 满足：OP⊥AB．
∵k_OP=，∴k_AB=-2，
∴直线AB的方程为 y-1=-2（x-2），即  2x+y-5=0．
联立方程组 得 40x²-180x+189=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则 ，
∴|AB|==．
∴S_△AOB=|OP||AB|=．
点评：会应用“点差法”解决有关中点弦的问题；知道：当原点O到直线AB的距离取最大值时满足OP⊥AB，及熟练掌握点到直线的距离公式、弦长公式是解题的关键．