Question

通过正三棱锥的底面一边且垂直于对棱作一截面，若此截面将对棱分成3：2两部分，且底面的边长为4，求棱锥的全面积．

Answer 1

分析：画出图形，设截面BDC⊥VA，且VD：DA=3：2，由VA⊥BD，取AB的中点E，连接VE，推出VE⊥AB，利用三角形相似，以及勾股定理求出
VE就是斜高，然后求出侧面积，再求全面积．

解答：解：设截面BDC⊥VA，且VD：DA=3：2，
由VA⊥BD，取AB的中点E，连接VE，则VE⊥AB，
∴Rt△VAE∽Rt△BAD，
∴AD：AE=AB：VA，
即AB•AE=AD•VA．
∵VD：DA=3：2，
∴AD=

2

5

AV且AE=

1

2

AB，
得

1

2

AB2=

2

5

AV2，
∴AV²=20．在Rt△VEA中，VE²=AV²-AE²=16，
∴S侧=3S△VAB=3×

1

2

×4×4=24
又S底=

1

2

×4×4sin60°=4

3

，
∴S全=24+4

3

．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．