Question

两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）先利用AC⊥BC，求出BC²=400-x²，再利用圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，得到y和x之间的函数关系，最后利用垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065求出k即可求出结果．
（11）先求出导函数以及导数为0的根，进而求出其单调区间，找到函数的最小值即可．

解答：解（1）由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=

4

x2

+

k

400-x2

(0＜x＜20)
其中当x=10

2

时，y=0.065，
所以k=9
所以y表示成x的函数为y=

4

x2

+

9

400-x2

(0＜x＜20)
（2）y=

4

x2

+

9

400-x2

，y′=-

8

x3

-

9×(-2x)

(400-x2)2

=

18x4-8(400-x2)2

x3(400-x2)2

，
令y'=0得18x⁴=8（400-x²）²，
所以x²=160，即x=4

10

，
当0＜x＜4

10

时，18x⁴＜8（400-x²）²，即y'＜0所以函数为单调减函数，
当4

10

＜x＜20时，18x⁴＞8（400-x²）²，即y'＞0所以函数为单调增函数．
所以当x=4

10

时，即当C点到城A的距离为4

10

时，函数y=

4

x2

+

9

400-x2

(0＜x＜20)有最小值．
（注：该题可用基本不等式求最小值．）

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用问题．涉及到函数解析式的求法以及利用导数研究函数的最值问题，属于中档题目，关键点在于把文字转化为数学符号．