Question

（08年泉州一中适应性练习文）（12分）

        如图， PA⊥平面ABCD，ABCD为正方形， PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点.

   （1）求证：PB∥面EFG；

   （2）求异面直线EG与BD所成的角；

   （3）求点A到平面EFG的距离。

 

Answer 1

解析：解法一：

   （1）证明：取AB中点H，连结GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面. ……………………1分

又H为AB中点，

∴EH∥PB. ……………………………………2分

又EH面EFG，PB平面EFG，

∴PB∥平面EFG. ………………………………4分

 

 

（2）解：取BC的中点M，连结GM、AM、EM，则GM//BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD

所成的角.………………5分

     在Rt△MAE中， ，

     同理，…………………………6分

又，

∴在△MGE中，

………………7分

故异面直线EG与BD所成的角为arccos，………………………………8分

 

 解法二：建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），

P（0，0，2），E（0，0，1），F（0，1，1），G（1，2，0）.

   （1）证明：

     …………………………1分

    设，

    即，

   

     ……………3分

    ，

    ∴PB∥平面EFG. …………………………………………………………………… 4分

   （2）解：∵,…………………………………………5分

    ，……………………… 7分

故异面直线EG与BD所成的角为arccos，………………………………8分

(3)   

  ，            

设面的法向量

则

取法向量

A到平面EFG的距离=.…………………………12分