Question

某玩具生产厂家接到一生产伦敦奥运吉祥物的生产订单，据以往数据分析，若生产数量为x万件，则可获利-lnx+万美元，受美联货币政策影响，美元贬值，获利将因美元贬值而损失mx万美元，其中m为该时段美元的贬值指数，且m∈（0，1）．
（1）若美元贬值指数m=，为使得企业生产获利随x的增加而增长，该企业生产数量应在什么范围？
（2）若因运输等其他方面的影响，使得企业生产x万件产品需增加生产成本万美元，已知该企业生产能力为x∈[4，10]，试问美元贬值指数m在什么范围内取值才能使得该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元？

Answer 1

【答案】分析：（1）先确定利润函数，再求导，利用导数大于0，即可求得结论；
（2）由题意x∈[4，10]时，都有，分离参数，确定函数的最值，即可得到结论．
解答：解：（1）若美元贬值指数m=，则企业获得利润是f（x）=-lnx+-0.1x（x＞0）
∴f′（x）=-=
令f′（x）＞0，可得x²-0.5x-5≥0，∵x＞0，∴x≥2.5
即x≥2.5时，企业生产获利随x的增加而增长；
（2）x∈[4，10]时，都有
∴x∈[4，10]时，m≤-+-，
令g（x）=-+-，则＞0
∴g（x）=-+-在[4，10]上为增函数
∴g（x）=-+-在[4，10]上的最小值为
∴0＜m≤时，该企业生产每件产品获得的平均利润不低于0.3美元．
点评：本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查恒成立问题，正确求导是关键．