Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，前n项和S_n=2a_n-n，（n∈N^*）
（1）证明：数列{a_n+1}是等比数列；
（2）试比较S_n与2-n的大小关系．

Answer 1

【答案】分析：（1）令n=1代入所给的式子求出a₁+1的值，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n，代入化简得到数列的递推公式，再求出是常数，则结论得证；
（2）根据（1）和等比数列的通项公式求出a_n，再代入S_n=2a_n-n化简，再作差：S_n-（2-n）并变形，由n的范围判断出符号，得到二者的大小关系．
解答：解：（1）当n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，
∴a₁=1，解得a₁+1=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n=2a_n-2a_n-1-1，
∴a_n=2a_n-1+1，
∴
∴数列{a_n+1}是以2为首项以2为公比的等比数列．
（2）由（1），
∴
又∵n∈N^*，n≥1，
∴
∴S_n≥2-n．
点评：本题考查了等比数列的证明，通项公式的应用，以及数列的项与前n项和之间的转化问题．