Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）讨论的单调性；

（3）设、为曲线上的任意两点，并且，若恒成立，证明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）若， 在上递增；若，时，单调递增；，单调递减；（3）证明见解析.

【解析】

（1）将代入可得函数解析式,求得导数并代入求得切线的斜率.将代入函数可得切点坐标,由点斜式即可求得切线方程.

（2）先求得导函数,对分类讨论,根据导函数的符号即可判断单调性.

（3）根据恒成立及（2）中函数单调性的讨论,可求得.代入函数并结合不等式即可得.利用定义作差,得,化简后即可证明.

（1）当时,,

对函数求导得,

∴,又,

∴曲线在处的切线方程为：；

（2）求导得,

若,,在上递增；

若,当时,,单调递增；

当时,,单调递减.

（3）由（2）知,若,在上递增,

又,故不恒成立.

若,当时,递减,,不合题意.

若,当时,递增,,不合题意.

若,在上递增,在上递减,,合题意.

故,且（当且仅当时取“”）.

设,,

∴,

因此,

即