Question

已知定义在R上的函数f（x）满足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)；且当x∈(-

π

2

，

π

2

）时，f（x）=sinx，则不等式f（x）≤f(-

π

6

)的解集为

(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）

．

Answer 1

分析：由已知中定义在R上的函数f（x）满足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)，我们根据函数周期性的性质，判断出函数f（x）是以π的周期的周期函数，进而根据当x∈(-

π

2

，

π

2

）时，f（x）=sinx，我们可以求出不等式f（x）≤f(-

π

6

)，当x∈(-

π

2

，

π

2

）时的解集，进而结合函数的周期性得到答案．

解答：解：∵函数f（x）满足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)
即函数f（x）是以π的周期的周期函数；
又∵函数f（x）满足当x∈(-

π

2

，

π

2

）时，f（x）=sinx，
∴当x∈(-

π

2

，

π

2

）时，f（x）≤f(-

π

6

)的解集为(-

π

2

，-

π

6

]
故不等式f（x）≤f(-

π

6

)的解集为(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）
故答案为：(kπ-

π

2

，kπ-

π

6

]（k∈Z）

点评：本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法，正弦函数的单调性，其中根据已知中函数f（x）满足f(x+

π

2

)=f(x-

π

2

)，判断出函数的周期性是解答本题的关键．