Question

已知A，B两点在抛物线C：x²＝4y上，点M(0,4)满足＝λ.

（1）求证：⊥；

（2）设抛物线C过A、B两点的切线交于点N.

①求证：点N在一条定直线上；    

②设4≤λ≤9，求直线MN在x轴上截距的取值范围．

Answer 1

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

l_AB：y＝kx＋4与x²＝4y联立得x²－4kx－16＝0，        

Δ＝(－4k)²－4(－16)＝16k²＋64>0，

x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，                      

(1)证明：∵·＝x₁x₂＋y₁y₂＝x₁x₂＋(kx₁＋4)(kx₂＋4)

＝(1＋k²)x₁x₂＋4k(x₁＋x₂)＋16

＝(1＋k²)(－16)＋4k(4k)＋16＝0

∴⊥.                ………………（4分）                  

(2)(ⅰ)证明：过点A的切线：

y＝x₁(x－x₁)＋y₁＝x₁x－x₁²，　　①

过点B的切线：y＝x₂x－x₂²，　　②                   

联立①②得点N(，－4)，所以点N在定直线y＝－4上．……（8分）

(ⅱ)∵＝λ，

∴(x₁，y₁－4)＝λ(－x_2,4－y₂)，

联立x₁＝－λx₂，x₁＋x₂＝4k，x₁x₂＝－16，

可得k²＝＝＝λ＋－2,4≤λ≤9，       ∴≤k²≤.

直线MN：y＝x＋4在x轴上的截距为k.

∴直线MN在x轴上截距的取值范围是[－，－]∪[，]．