Question

已知点A(1，

1

3

)是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列a_n的前n项和为f（n）-c，数列b_n（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式．
（2）若数列{

1

bnbn+1

}的前n项和为T_n，问满足T_n＞

1000

2011

的最小整数是多少？
（3）若Cn=-

2bn

a n

，求数列C_n的前n项和P_n．

Answer 1

（1）∵点A(1，

1

3

)是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点f(1)=a=

1

3

∵等比数列a_n的前n项和为f（n）-c
∴当n≥2时，an=[f(n)-c]-[f(n-1)-c]=-

2

3n

∵{a_n}为等比数列
∴公比q=

an

an-1

=

1

3

∵a2=-

2

9

=a1q=[f(1)-c]•

1

3

=(

1

3

-c)•

1

3

∴c=1，a1=-

2

3

，an=-

2

3n

（3分）
由题设可知数列b_n（b_n＞0）的首项为b₁=c=1Sn-Sn-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）
∴(

Sn

-

Sn-1

)(

Sn

+

Sn-1

)=

Sn

+

Sn-1

∴

Sn

-

Sn-1

=1
∴数列{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列．
则

Sn

=n，S_n=n² b_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1
当n=1时，b₁=1，也满足b_n=2n-1
数列{b_n }的通项公式．b_n=2n-1（6分）
（2）∵b_n=2n-1
∴

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+

1

b3b4

++

1

bnbn+1

=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

要使T_n＞

1000

2011

，
则

n

2n+1

＞

1000

2011

，即n＞90

10

11

∴满足T_n＞

1000

2011

的最小整数为91（11分）
（3）∵an=-

2

3n

，b_n=2n-1
∴Cn=-

2bn

a n

=（2n-1）•3ⁿP_n=1•3+3•3²+5•3³++（2n-1）•3ⁿ①
3P_n=1•3²+3•3³+5•3⁴++（2n-1）•3ⁿ⁺¹..②
①-②得：-2P_n=3+2（3²+3³+3⁴+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=3+2•

32(1-3n-1)

1-3

-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6
∴P_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．（16分）