Question

【题目】已知圆与直线相切，圆心在轴上，且直线被圆截得的弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）过点作斜率为的直线与圆交于两点，若直线与的斜率乘积为，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题（1）设圆的方程为，则圆心到直线的距离为，由直线被圆截得的弦长为，及弦长公式，得关于的一个方程；再由圆与直线相切可得又一关于的一个方程；联立方程，即可求出的值，而得到圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，设，由韦达定理，可用将直线与的斜率乘积为表示出来，然后由可求出的值，进而就可求出的值.

试题解析：（1）设圆的方程为，

则圆心到直线的距离为，

由直线被圆截得的弦长为可得

，即，①

由圆与直线相切可得，即②，

由①②及解得，

故圆的方程为，

（2）设直线的方程为，联立，

得，

则恒成立．

设，则，

则，

所以，

则，

故

则，

，

故