Question

已知函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），且x∈[-1，1]时，f（x）=x²，则y=f（x）与y=|log₅x|的图象交点个数为（　　）

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：先画出函数y=f（x）在一个周期[-1，1]内的图象，再由函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），可知其正确T=2，从而画出函数y=f（x），x∈R的图象．
再画出函数y=|log₅x|的图象，及根据其单调性即可求出交点的个数．

解答：解：∵函数y=f（x），（x∈R）满足f（x+1）=f（x-1），∴?x∈R，都有f（x+2）=f（x），即函数的周期T=2．
先画出x∈[-1，1]时，f（x）=x²的图象，其值域为[0，1]，再根据函数的周期T=2，可画出函数y=f（x），（x∈R）的图象；
再画出函数y=|log₅x|的图象，即把函数y=log₅x的在x轴下方的部分对称的翻到x轴上方．
当0＜x≤1时，函数f（x）=x²的图象与y=-log₅x的图象只有一个交点；
当1＜x≤5时，∵0＜log₅x≤1，0≤f（x）≤1及单调性和图象如图所示：二函数有4个交点．
综上共有5个交点．
故选D．

点评：正确画出二函数的图象和理解函数的单调性是解题的关键．