Question

【题目】己知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）当时，函数的图象与函数的图象有唯一的交点，求的取值集合.

Answer 1

【答案】（1）函数的极大值是，无极小值；（2）.

【解析】

（1）当时，，由导数为零，解得，从而可知 随 的变化，进而可求极值；

（2）设设，则与 只有一个交点，即只有一个根，设，结合导数可知，当时，有最大值为，画出草图，可求出的取值集合.

（1）解：当时，，则，解得，

则 随 的变化如表所示

		0

所以函数的极大值是，无极小值；

（2）解：设，则与 只有一个交点，其中，

则只有一个根，即 只有一个根，

设 ，则，

令，则，设，

则令，解得，则 随 的变化如下表

		0

则当时，取最小值为，

所以，即.

所以 在 上单调递减，因此只有一个根，即 ，

当 时，， 递增；当 时，， 递减，

所以，当时，有最大值为，则简图如图所示，

由题意知， 与图像只有一个交点，而，所以，即 ，

所以的取值集合为.