Question

如图，把正三角形ABC分成有限个全等的小正三角形，且在每个小三角形的顶点上都放置一个非零实数，使得任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等．设点A为第一行，…，BC为第n行，记点A上的数为a₁₁=1，…，第i行中第j个数为a_ij （1≤j≤i）．若a ₂₁=

1

2

，a ₂₂=

1

4

，则a₃₁+a₃₂+a₃₃=

 

．

Answer 1

分析：根据任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等，分别求出a₃₁、a₃₂、a₃₃的值，从而求出所求．

解答：解：∵任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等
∴a ₂₁•a ₂₂=

1

2

×

1

4

=a₁₁•a₃₂=1×a₃₂，
∴a₃₂=

1

8

，而a ₂₁•a ₃₂=

1

2

×

1

8

=a₂₂•a₃₁=

1

4

×a₃₁，
∴a₃₁=

1

4

，而a ₂₁•a ₃₃=

1

2

×a ₃₃=a₂₂•a₃₂=

1

4

×

1

8

，
∴a ₃₃=

1

16

∴a₃₁+a₃₂+a₃₃=

1

4

+

1

8

+

1

16

=

7

16

故答案为：

7

16

点评：本题主要考查了数列的应用，解题的关键就是根据任意两个相邻的小三角形组成的菱形的两组相对顶点上实数的乘积相等建立等式，属于中档题．