题目内容
如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2| 3 |
（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．
分析：（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．
解答：解：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．
OB=MO=
，MO∥AB，则
=
=
，EO=OB=
，所以EB=2
=AB，故∠AEB=45°．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，
设为θ．
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．
BF=BC•sin60°=
．
tanθ=
=2 ， sinθ=
所以，所求二面角的正弦值是
．
又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，
所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，
则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．
OB=MO=
| 3 |
| EO |
| EB |
| MO |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线．
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形．
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，
设为θ．
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°．
BF=BC•sin60°=
| 3 |
tanθ=
| AB |
| BF |
2
| ||
| 5 |
所以，所求二面角的正弦值是
2
| ||
| 5 |
点评：本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．
练习册系列答案
相关题目
已知四边形ABCD为菱形，AB=6，∠BAD=60°，两个正三棱锥P-ABD、S-BCD（底面是正三角形且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心）的侧棱长都相等，如图，E、M、N分别在AD、
正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图（1）M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积．
正四面体A-BCD的棱长为1，（Ⅰ）如图（1）M为CD中点，求异面直线AM与BC所成的角；（Ⅱ）将正四面体沿AB、BD、DC、BC剪开，作为正四棱锥的侧面如图（2），求二面角M-AB-E的大小；（Ⅲ）若将图（1）与图（2）面ACD重合，问该几何体是几面体（不需要证明），并求这几何体的体积．
．
．