Question

对一切正数m，不等式n＜

4

m

+2m恒成立，则常数n的取值范围为（　　）

• A．（-∞，0）
• B．（-∞，4

  2

  ）
• C．（4

  2

  ，+∞）
• D．[4

  2

  ，+∞）

Answer 1

分析：根据题意，将不等式n＜

4

m

+2m对一切正数m恒成立转化为n＜（

4

m

+2m）_min，利用基本不等式即可求得（

4

m

+2m）_min，从而解得常数n的取值范围．

解答：解：∵不等式n＜

4

m

+2m对一切正数m恒成立，
∴n＜（

4

m

+2m）_min，
∵m＞0，
∴

4

m

+2m≥2

4 m •2m

=4

2

，
当且仅当

4

m

=2m，即m=

2

时取等号，
∴（

4

m

+2m）_min=4

2

，
∴n＜4

2

，
∴常数n的取值范围为（-∞，4

2

）．
故选B．

点评：本题考查了基本不等式在最值问题中的应用，恒成立问题的求解．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题运用了最值法进行求解恒成立问题．属于中档题．