Question

【题目】已知点，点在轴上，点在轴上，且．当点在轴上运动时，点的轨迹记为曲．

（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；

（Ⅱ）过曲线上一点，作圆的切线，交曲线于两点，若直线垂直于直线，求的面积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）设点，由表示出的坐标，根据及平面向量数量积的坐标运算，即可确定曲线的轨迹方程；

（Ⅱ）根据题意可知直线的斜率必定存在时，设表示出及直线的方程，结合与圆相切及点到直线距离公式，可得方程，再由韦达定理表示出直线的斜率公式，结合即可确定的值，进而求得的面积．

（Ⅰ）设点，则，

所以，

因为，所以，

即，

所以曲线的轨迹方程为，.

（Ⅱ）由题知直线的斜率不为0，当直线的斜率不存在时，由抛物线的特征可知此时不垂直，故不合题意；

当直线的斜率存在时，记，

则，

所以直线的方程为，

即，由直线和圆相切，

得，化简可得，

同理可得，

所以是方程的两根，

故，

所以直线的斜率，

又，由得，

即，

所以

．