Question

已知函数f(x)=ax3-

3

2

(a+2)x2+6x-3试讨论曲线y=f（x）与x轴的公共点的个数．

Answer 1

分析：要讨论曲线与横轴的交点的个数，即讨论使得函数等于0时，对应的自变量的个数，对函数求导，讨论a的不同的取值对应的函数值等于0时的x的值，借助于函数的极值和单调性来说明．

解答：解：f'（x）=3ax²-3（a+2）x+6=3[ax²-（a+2）x+2]…（1分）
当a=0时，f（x）=-3（x-1）²≤0，f（x）=0有且仅有一解； 
当a＜0时，f′(x)=3a(x-

2

a

)(x-1)，

2

a

＜1，
∴f极小=f(

2

a

)=

-3a2+6a-4

a2

＜0，f极大=f(1)=-

a

2

＞0
所以，此时f（x）=0有三个不同的实数解；                   …（6分）
当a＞0时，
①若

2

a

＞1，即0＜a＜2时，∴f极小=f(

2

a

)＜f极大=f(1)=-

a

2

＜0
f（x）=0有且仅有一解；
②若

2

a

=1，即a=2时，f'（x）=6（x-1）²≥0函数为R上增函数，
f（0）=-3＜0，f（2）=1＞0，f（x）=0有且仅有一解；
③若

2

a

＜1，即a＞2时，
∴0＞f极大=f(

2

a

)=

-3a2+6a-4

a2

＞f极小=f(1)=-

a

2

，f（x）=0有且仅有一解； 14分

点评：本题考查函数与方程之间的关系和利用导数来研究函数的极值的问题，本题解题的关键是理解题意，本题是一个中档题目．