题目内容
已知 f(x)=cos2x+2
sinxcosx，(x∈R)
（1）求 f（x）的最大值 M 和最小正周期 T；
（2）求 f（x）的单调减区间；
（3）20个互不相等的正数 an满足f（an）=M，且an＜20π（n=1，2，…，20），
试求：a1+a2+…+a20的值．
| 3 |
（1）求 f（x）的最大值 M 和最小正周期 T；
（2）求 f（x）的单调减区间；
（3）20个互不相等的正数 an满足f（an）=M，且an＜20π（n=1，2，…，20），
试求：a1+a2+…+a20的值．
f(x)=cos2x+2
sinxcosx=
sin2x+cos2x=2sin(2x+
)（2分）
（1）M=2，T=
=π；（4分）
（2）∵y=sinx的单调减区间为[2kπ+
，2kπ+
](k∈Z)（5分）
由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z得kπ+
≤x≤kπ+
，k∈Z（7分）
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+
，kπ+
](k∈Z)（8分）
（3）∵f（an）=M=2，∴2an+
=2kπ+
?an=kπ+
，(k∈Z)（10分）
又∵0＜an＜20π，∴k=0，1，2，，19
∴a1+a2++a20=(1+2++19)π+20×
=
+
=
．（13分）
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
（1）M=2，T=
| 2π |
| 2 |
（2）∵y=sinx的单调减区间为[2kπ+
| π |
| 2 |
| 3π |
| 2 |
由2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
（3）∵f（an）=M=2，∴2an+
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
又∵0＜an＜20π，∴k=0，1，2，，19
∴a1+a2++a20=(1+2++19)π+20×
| π |
| 6 |
| 19×20π |
| 2 |
| 10π |
| 3 |
| 580π |
| 3 |
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的单调区间；
求a的值.