Question

曲边梯形由曲线y=x²+1，y=0，x=1，x=2所围成，过曲线y=x²+1，x∈[1，2]上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为

 

．

Answer 1

分析：设出P的坐标，求出切线方程，计算出梯形的面积，利用配方法求最值，即可确定P的坐标．

解答：解：设P（a，a²+1）（a∈[1，2]），则
∵y=x²+1，∴y′=2x

∴点P处的切线方程为y-（a²+1）=2a（x-a）

x=1时，y=-a²+2a+1；x=2时，y=-a²+4a+1
∴所求梯形的面积S=

1

2

(-a2+2a+1-a2+4a+1)×1=-(a-

3

2

)2+

13

4

∵a∈[1，2]，∴a=

3

2

时，Smax=

13

4

此时，P（

3

2

，

13

4

）

故答案为：（

3

2

，

13

4

）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查梯形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．